Lineare Algebra Beispiele

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x - 5 = 0

$y - 2 z + x - 5 = 0$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1

Verschiebe alle Variablen auf die linke Seite jeder Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere

5

$5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y - 2 z + x = 5

$y - 2 z + x = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1.2

Bewege

- 2 z

$- 2 z$ .

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

y + x - 2 z = 5

$y + x - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1.3

Stelle

y

$y$ und

x

$x$ um.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x = 4 y - z

$3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1.4

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Subtrahiere

4 y

$4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y = - z

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Schritt 1.4.2

Addiere

z

$z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

3 - 2 x - 4 y + z = 0

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere

3

$3$ von beiden Seiten der Gleichung.

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

2 x - 3 y + z = 4

$2 x - 3 y + z = 4$

x + y - 2 z = 5

$x + y - 2 z = 5$

- 2 x - 4 y + z = - 3

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x y z \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 45 - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Schritt 3

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & - 3 & 1 1 & 1 & - 2 - 2 & - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

0

$0$ Elementen. Wenn keine

0

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

1

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

-

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 3.2.3

Die Unterdeterminante für

a_{11}

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

1

$1$ und Spalte

1

$1$ eliminiert werden.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 1 & - 2 - 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.4

Multipliziere Element

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.5

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.6

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.7

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.8

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere

$8$ von

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2.1.2

Multipliziere

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere

$4$ von

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.5

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 3.5.2.1.2

Multipliziere

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Schritt 3.5.2.2

Addiere

$- 4$ und

$2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Schritt 3.6

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Schritt 3.6.1.3

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere

$9$ von

$- 14$ .

$- 23 - 2$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere

$2$ von

$- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Schritt 4

Da die Determinante nicht

$0$ ist, kann das System mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.

Schritt 5

Ermittle den Wert von

$x$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass

$x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze die Spalte

$1$ der Koeffizientenmatrix, die den

$x$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Bestimme die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 5.2.1.3

Die Unterdeterminante für

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere Element

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Multipliziere

$- (- 4 \cdot - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Subtrahiere

$8$ von

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Multipliziere

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Subtrahiere

$6$ von

$5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Multipliziere

$- (- 3 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Schritt 5.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere

$- 20$ und

$3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Schritt 5.2.5.1.3

Mutltipliziere

$- 17$ mit

$1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere

$3$ von

$- 28$ .

$- 31 - 17$

Schritt 5.2.5.3

Subtrahiere

$17$ von

$- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Schritt 5.3

Wende die Formel an, um

$x$ zu lösen.

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 5.4

Setze

$- 25$ für

$D$ und

$- 48$ für

$D_{x}$ in die Formel ein.

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{48}{25}$

Schritt 6

Ermittle den Wert von

$y$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass

$y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze die Spalte

$2$ der Koeffizientenmatrix, die den

$y$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2

Bestimme die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 6.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 6.2.1.3

Die Unterdeterminante für

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere Element

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.5

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.7

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.8

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$5$ mit

$1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Multipliziere

$- (- 3 \cdot - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.2

Subtrahiere

$6$ von

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere

$1$ mit

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Multipliziere

$- (- 2 \cdot - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.2

Subtrahiere

$4$ von

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Multipliziere

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Schritt 6.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Schritt 6.2.4.2.2

Addiere

$- 3$ und

$10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Schritt 6.2.5.1.3

Mutltipliziere

$7$ mit

$1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Schritt 6.2.5.2

Addiere

$- 2$ und

$12$ .

$10 + 7$

Schritt 6.2.5.3

Addiere

$10$ und

$7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Schritt 6.3

Wende die Formel an, um

$y$ zu lösen.

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 6.4

Setze

$- 25$ für

$D$ und

$17$ für

$D_{y}$ in die Formel ein.

$y = \frac{17}{- 25}$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{17}{25}$

Schritt 7

Ermittle den Wert von

$z$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass

$z = \frac{D_{z}}{D}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze die Spalte

$3$ der Koeffizientenmatrix, die den

$z$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch

$[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2

Bestimme die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten

$0$ Elementen. Wenn keine

$0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte

$1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer

$-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.2.1.3

Die Unterdeterminante für

$a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.4

Multipliziere Element

$a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.5

Die Unterdeterminante für

$a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.6

Multipliziere Element

$a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.7

Die Unterdeterminante für

$a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile

$1$ und Spalte

$3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.8

Multipliziere Element

$a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Multipliziere

$- (- 4 \cdot 5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2.2

Addiere

$- 3$ und

$20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1.1

Mutltipliziere

$- 3$ mit

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Multipliziere

$- (- 2 \cdot 5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2.2

Addiere

$- 3$ und

$10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.4

Berechne

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.1

Die Determinante einer

$2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 7.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.1.1

Mutltipliziere

$- 4$ mit

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 7.2.4.2.1.2

Multipliziere

$- (- 2 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere

$- 2$ mit

$1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Schritt 7.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere

$- 1$ mit

$- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Schritt 7.2.4.2.2

Addiere

$- 4$ und

$2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Schritt 7.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1.1

Mutltipliziere

$2$ mit

$17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Schritt 7.2.5.1.2

Mutltipliziere

$3$ mit

$7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Schritt 7.2.5.1.3

Mutltipliziere

$4$ mit

$- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Schritt 7.2.5.2

Addiere

$34$ und

$21$ .

$55 - 8$

Schritt 7.2.5.3

Subtrahiere

$8$ von

$55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Schritt 7.3

Wende die Formel an, um

$z$ zu lösen.

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Schritt 7.4

Setze

$- 25$ für

$D$ und

$47$ für

$D_{z}$ in die Formel ein.

$z = \frac{47}{- 25}$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{47}{25}$

Schritt 8

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$