Lineare Algebra Beispiele

$2 x - 3 y + z = 4$ $y - 2 z + x - 5 = 0$ $3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1

Verschiebe alle Variablen auf die linke Seite jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 3 y + z = 4$

$y - 2 z + x = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1.2

Bewege $- 2 z$ .

$2 x - 3 y + z = 4$

$y + x - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $x$ um.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x = 4 y - z$

Schritt 1.4

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere $4 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y = - z$

Schritt 1.4.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$3 - 2 x - 4 y + z = 0$

Schritt 1.5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

$2 x - 3 y + z = 4$

$x + y - 2 z = 5$

$- 2 x - 4 y + z = - 3$

Schritt 2

Stelle das Gleichungssystem in Matrixformat dar.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$

Schritt 3

Bestimme die Determinante der Koeffizientenmatrix $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $[\begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array}]$ in Determinanten-Schreibweise.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 1 \\ 1 & 1 & - 2 \\ - 2 & - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 3.2.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 3.2.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 3.2.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$2 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot - 2)$ .

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$2 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$2 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 3.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 7 + 3 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot - 2)$ .

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 \cdot - 7 + 3 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 3.5

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 3.5.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.5.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 3.5.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 1)$ .

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Schritt 3.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 - - 2)$

Schritt 3.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 (- 4 + 2)$

Schritt 3.5.2.2

Addiere $- 4$ und $2$ .

$2 \cdot - 7 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Schritt 3.6

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.6.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 7$ .

$- 14 + 3 \cdot - 3 + 1 \cdot - 2$

Schritt 3.6.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$- 14 - 9 + 1 \cdot - 2$

Schritt 3.6.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 14 - 9 - 2$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $9$ von $- 14$ .

$- 23 - 2$

Schritt 3.6.3

Subtrahiere $2$ von $- 23$ .

$- 25$

$D = - 25$

Schritt 4

Da die Determinante nicht $0$ ist, kann das System mithilfe der cramerschen Regel gelöst werden.

Schritt 5

Ermittle den Wert von $x$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze die Spalte $1$ der Koeffizientenmatrix, die den $x$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 4 & - 3 & 1 \\ 5 & 1 & - 2 \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 5.2.1

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Schritt 5.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 5.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 5.2.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 (1 \cdot 1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 (1 - (- 4 \cdot - 2)) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot - 2)$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$4 (1 - 1 \cdot 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$4 (1 - 8) + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 \cdot - 7 + 3 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - (- 3 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 1 \cdot 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$4 \cdot - 7 + 3 (5 - 6) + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.3.2.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 | \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Schritt 5.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 5 & 1 \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 5.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (5 \cdot - 4 - (- 3 \cdot 1))$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 4$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - (- 3 \cdot 1))$

Schritt 5.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot 1)$ .

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Schritt 5.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 - - 3)$

Schritt 5.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 (- 20 + 3)$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $- 20$ und $3$ .

$4 \cdot - 7 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Schritt 5.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 7$ .

$- 28 + 3 \cdot - 1 + 1 \cdot - 17$

Schritt 5.2.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 28 - 3 + 1 \cdot - 17$

Schritt 5.2.5.1.3

Mutltipliziere $- 17$ mit $1$ .

$- 28 - 3 - 17$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $- 28$ .

$- 31 - 17$

Schritt 5.2.5.3

Subtrahiere $17$ von $- 31$ .

$- 48$

$D_{x} = - 48$

Schritt 5.3

Wende die Formel an, um $x$ zu lösen.

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Schritt 5.4

Setze $- 25$ für $D$ und $- 48$ für $D_{x}$ in die Formel ein.

$x = \frac{- 48}{- 25}$

Schritt 5.5

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{48}{25}$

Schritt 6

Ermittle den Wert von $y$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

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Schritt 6.1

Ersetze die Spalte $2$ der Koeffizientenmatrix, die den $y$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & - 2 \\ - 2 & - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 6.2.1

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Schritt 6.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 6.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 6.2.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$2 | \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 5 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (5 \cdot 1 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$2 (5 - (- 3 \cdot - 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 3 \cdot - 2)$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 2$ .

$2 (5 - 1 \cdot 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$2 (5 - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.2.2.2

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 | \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & - 2 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 1 - 4 (1 \cdot 1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - (- 2 \cdot - 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot - 2)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 1 \cdot 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$2 \cdot - 1 - 4 (1 - 4) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 6.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 6.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5))$

Schritt 6.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - (- 2 \cdot 5))$

Schritt 6.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 5)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 - - 10)$

Schritt 6.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 (- 3 + 10)$

Schritt 6.2.4.2.2

Addiere $- 3$ und $10$ .

$2 \cdot - 1 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Schritt 6.2.5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 6.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - 4 \cdot - 3 + 1 \cdot 7$

Schritt 6.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$- 2 + 12 + 1 \cdot 7$

Schritt 6.2.5.1.3

Mutltipliziere $7$ mit $1$ .

$- 2 + 12 + 7$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $- 2$ und $12$ .

$10 + 7$

Schritt 6.2.5.3

Addiere $10$ und $7$ .

$17$

$D_{y} = 17$

Schritt 6.3

Wende die Formel an, um $y$ zu lösen.

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Schritt 6.4

Setze $- 25$ für $D$ und $17$ für $D_{y}$ in die Formel ein.

$y = \frac{17}{- 25}$

Schritt 6.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{17}{25}$

Schritt 7

Ermittle den Wert von $z$ anhand der cramerschen Regel, die besagt, dass $z = \frac{D_{z}}{D}$ .

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Schritt 7.1

Ersetze die Spalte $3$ der Koeffizientenmatrix, die den $z$ -Koeffizienten des Systems entspricht, durch $[\begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ - 3 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 & 4 \\ 1 & 1 & 5 \\ - 2 & - 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2

Bestimme die Determinante.

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Schritt 7.2.1

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Schritt 7.2.1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 7.2.1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 7.2.1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$2 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 4 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 (1 \cdot - 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.2.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 (- 3 - (- 4 \cdot 5)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2.1.2

Multipliziere $- (- 4 \cdot 5)$ .

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Schritt 7.2.2.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$2 (- 3 - - 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 20$ .

$2 (- 3 + 20) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.2.2.2

Addiere $- 3$ und $20$ .

$2 \cdot 17 + 3 | \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} | + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 5 \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 17 + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 7.2.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 5)) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 5)$ .

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Schritt 7.2.3.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 - - 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 10$ .

$2 \cdot 17 + 3 (- 3 + 10) + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.3.2.2

Addiere $- 3$ und $10$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$

Schritt 7.2.4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 2 & - 4 \end{array} |$ .

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Schritt 7.2.4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (1 \cdot - 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 7.2.4.2

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.1.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - (- 2 \cdot 1))$

Schritt 7.2.4.2.1.2

Multipliziere $- (- 2 \cdot 1)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 - - 2)$

Schritt 7.2.4.2.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 (- 4 + 2)$

Schritt 7.2.4.2.2

Addiere $- 4$ und $2$ .

$2 \cdot 17 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Schritt 7.2.5

Vereinfache die Determinante.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$34 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot - 2$

Schritt 7.2.5.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$34 + 21 + 4 \cdot - 2$

Schritt 7.2.5.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$34 + 21 - 8$

Schritt 7.2.5.2

Addiere $34$ und $21$ .

$55 - 8$

Schritt 7.2.5.3

Subtrahiere $8$ von $55$ .

$47$

$D_{z} = 47$

Schritt 7.3

Wende die Formel an, um $z$ zu lösen.

$z = \frac{D_{z}}{D}$

Schritt 7.4

Setze $- 25$ für $D$ und $47$ für $D_{z}$ in die Formel ein.

$z = \frac{47}{- 25}$

Schritt 7.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$z = - \frac{47}{25}$

Schritt 8

Liste die Lösung des Gleichungssystems auf.

$x = \frac{48}{25}$

$y = - \frac{17}{25}$

$z = - \frac{47}{25}$